2011年7月17日日曜日

一見かんたんに計算できそうだが新しい関数になってしまう積分

これらは一見知っている関数(初等関数)になりそうにみえて新しい関数になってしまう。

通称数学科のパチンコ。

ちょっと工夫して(置換積分や部分積分で)計算しようとするのは時間の無駄なのでやめよう!


名前
\[ \int \frac{\sin x}{x} dx \] ディリクレ積分
\[ \int \frac{\cos x}{x} dx \]
\[ \int \frac{e^{-x}}{x} dx \]
\[ \int e^{-x^2} dx \] ガウス積分
\[ \int \sin (x^2) dx \] フレネル積分
\[ \int \cos (x^2) dx \] フレネル積分
\[ \int \frac{dx}{\log x} dx \] 対数積分
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}} dx \] \[\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} dx \]: 楕円積分

参考文献:難波誠『数学シリーズ 微分積分学』(裳華房)

2011年7月7日木曜日

積分をかんたんに計算する工夫

前置き

数学や統計学、その他を勉強しているとこの手の計算はたまにでてくる。そこでつまづいているのはもったいないので、これくらいは暗記しておくのも悪くない。

公式

\[
\int e^x f(x) dx = e^x (f(x)-f'(x)+f''(x)-f'''(x)+ \cdots)
\]
\[
\int e^{-x} f(x) dx = -e^{-x} (f(x)+f'(x)+f''(x)+f'''(x)+ \cdots)
\]
\[
\int f(x) \sin(x) dx = f(x)\sin(x) + f'(x)\cos(x) +f''(x)(- \sin(x)) + f'''(x)(-\cos(x))+ \cdots
\]
\[
\int f(x) \cos(x) dx = f(x)(-\cos(x)) + f'(x)(\sin(x)) +f''(x)\cos(x) + f'''(x)(-\sin(x))+ \cdots
\]

証明
部分積分の公式を繰り返し適用する。



\begin{align*}
\int xe^{-x} dx & = -e^{-x}(x + x') \\
& = -(x + 1)e^{-x} .
\end{align*}
\begin{align*}
\int x^2 e^{-x} dx & = -e^{-x}(x^2 + (x^2)'+(x^2)'') \\
& = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} .
\end{align*}

参考
藤田岳彦「弱点克服 大学生の確率・統計」(東京図書)

余談
数学科には暗記を嫌う人が多い気がする。その理由はだいたい以下の2通りに分類できる。

  1. 理由はわからないけどとにかくいやだ。嫌いなものは嫌い。どうしても暗記できない。
  2. 数学は暗記よりも考える力のほうが大事だから
前者はその人が背負ってしまった業なのでしようがない。生きていくしかない。

後者はたぶん間違ってる。どこが間違ってるかというと暗記に頼らないほうが考える力がつくっていうようなことはない。

考えるっていうのは脳みそのワーキングメモリの上でオブジェクト(言葉やモノ)をなにかの規則通りに操作することであるので、記憶したり、紙に書いたりして、ワーキングメモリをいっぱいあけておいたほうがいろいろ考えられる。

参考リンク:あらゆる勉強に通じるコツ