2012年6月5日火曜日

計算メモ: 生存関数と平均の関係

\begin{align} \mu = \int^{\infty}_{0}x f(x) \, dx \end{align} とし(もう少していねいに言うと,確率密度関数が $f(x)$, support が $[0,\infty)$, 平均が $\mu < \infty$ の分布を仮定している), かつ $\displaystyle \lim _{x \to \infty} f(x) = 0$ とする.
このとき, \begin{align} \int^{\infty}_{0} [1 - F(x) ]\, dx = \mu. \end{align}

なぜなら, 部分積分により, \begin{align} \mu &= \int^{\infty}_{0}x f(x) \, dx \\ &= \int^{\infty}_{0}x \{-[1 - F(x)] \}' \, dx \\ &= \biggl[ x \{-[1 - F(x)] \}\biggr]^{\infty}_{0} - \int^{\infty}_{0} \{-[1 - F(x)] \} \, dx \\ &= \int^{\infty}_{0} [1 - F(x) ]\, dx \end{align} だから.
ここで 3 行目の第一項が 0 になるのは, ロピタルの定理を用いて, \begin{align} & \lim _{x \to \infty} \left[ x \{-[1 - F(x)] \} \right] \\ &= \lim _{x \to \infty} \left[ - \frac{x}{\{1-F(x)\}^{-1}} \right] \\ &= \lim _{x \to \infty} \left[- \frac{1}{\{-f(x)\}^{-2}} \right] \\ &= \lim _{x \to \infty} \left[ -\{f(x)\}^{2} \right] \\ &= 0 \end{align} のように計算した.

この性質はときどき当たり前のように使われている.
たとえばこの本↓ の 235 ページに出てくる.

 

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